Über meine Werkzeuge

Teil 1: der Rechenschieber

In den ersten Jahren meiner Ausbildung zum Maschinenbau-Ingenieur lernte ich noch mit dem Rechenschieber zu arbeiten.

Das war seinerzeit mein Modell in der Höheren Technischen Lehranstalt / Innsbruck:

der ARISTO Hyperbolog 0971

Die Vorderseite mit den Skalen für die Hyperbelfunktionen, der Kreisfunktionen Sinus, Tangens und Cosinus, der Grundskalen plus Quadratskala und Kubikskala.
Rückseite mit den Grundskalen, den Kreisfunktionen (mit „pi“) und den Exponentialskalen

Historisches:

Wenige Jahre, nachdem die Erfindung der Logarithmen durch den Schweizerischen Astronomen und Mechaniker Jost Bürgi (1552 – 1632) in Deutschland und durch den englischen Mathematiker Lord Napier of Merchiston (1550 – 1617) in England und ihre Vereinfachung der praktischen Zahlenrechnung des Multiplizierens, Dividierens, Potenzierens und Radizierens ihre endgültige Form gegeben hatte, wurde auch die erste graphische Logarithmenskala hergestellt und zwar durch den englischen Mathematiker, Geodäten und Astronomen Edmond Gunter (1581 – 1626). (Sein „Canon Triangulorum“ von 1620 gab, was nebenbei bemerkt sein mag, nur drei Jahre nach den Anfängen der Brigg’schen Zahlenlogarithmen, auch die ersten Logarithmen mit der Basis 10 für die Funktionswerte Sinus und Tangens spitzer Winkel). Er beschrieb die logarithmische Skala in seiner „Description and Use of the Sector, Cross-Staff and other Instruments“, London 1623. (Quelle: 5)

Oughtred führte 1630 zwei bewegliche Skalen ein. Eine wesentliche Verbesserung war 1815 die Einführung der Exponentialskalen durch Roget. Ursprünglich wurden die Teilungen in das Holz des Stabes eingraviert. Später wurde das Holz mit weißem Zelluloid, auf dem die Teilungen gut sichtbar waren, beklebt.

Das am meisten verbreitete Modell war das nach einem deutschen Ingenieur benannte System „Rietz„. Es enthielt bereits Kubikskala, Mantissenskala und Reziprokskala. Auf der Rückseite der beweglichen Zunge waren die Skalen für die Kreisfunktionen. Um 1930 wurde am Institut für praktische Mathematik an der Technischen Hochschule Darmstadt das Model „Darmstadt“ entwickelt.

Kurvenberechnungen mit dem Rechenstab NESTLER System Rietz Nr.23R (das ist übrigens auch derselbe Typus von Rechenschieber, den Wernher von Braun verwendete für die Berechnungen der Raketenkonstruktionen – von der V2 bis zur Atlas-Agena-Rakete mit der Mercury-Raumkapsel. Auch Dampfmaschinen, Eisenbahntunnel und die Titanic wurden mit diesen Rechenhilfen gebaut.)

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Bald darauf – Mitte der 70er – kamen die ersten elektronischen Taschenrechner auf den Markt. Was zuerst wie eine willkommene Hilfe begrüßt wurde, entpuppte sich als Fehlgedanke. Denn mit dem elektronischen Rechner verschwand zunehmend das Vorstellungsleben für zahlenmäßige Größenordnungen. Der Gewöhnungseffekt an die digitale Zahlenwelt ist schleichend wie fein verteiltes Gift. Man merkt dies erst, wenn es (fast) zu spät ist. Später kam der Computer mit seinen CAD-Programmen. Bei diesen technischen Arbeiten mit dem Computer verstärkt sich der Verlust der Gedankenkraft und – begleitend dazu – die immer oberflächlicher werdende Wahrnehmung von Bildschirm-Bildern (die genau genommen keine „Bilder“ sind, sondern nur das Aufleuchten von unzähligen Pixeln, die bei jedem Mausklick sich neu konfigurieren am Bildschirm. Das aber so schnell geht, dass das menschliche Augen in seiner Trägheit dem nicht folgen kann, und wir Teile unseres Bewusstseins abspalten müssen für die Arbeit, hier überhaupt ein „Bild“ zu sehen! All diese Zustände verlaufen unbemerkt im tiefsten Unterbewusstsein und nicht im klaren Gedanken!)

Um dies deutlich vor Augen zu führen, bringe ich hier einen kurzen Auszug aus dem Buch „Von Gondishapur bis Silicon Valley – Band 1“. Im Kapitel: „Das Ende wahrer Kreativität“ lesen wir (Vgl. P. Emberson, 2012, S. 437 ff):

Die Wahrheit ist, so unangenehm dies auch sein mag, dass der Fortschritt in Wissenschaft und Technik, im Sinn von grundlegenden Entdeckungen, bedeutenden Theorien und wesentlich neuen Techniken, sich fast bis zum Stillstand verlangsamt hat, seitdem der Computer in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts Alltäglichkeit geworden ist. Vergleicht man die letzten fünfunddreißig Jahre (1973 – 2008) mit der gleichen Zeitspanne vor ein, zwei oder drei Jahrhunderten, erkennt man mit Schrecken, daß Entdeckungen und Erfindergeist zum Stillstand gekommen sind. Während der fünfunddreißig Jahre von 1873 bis 1908 zum Beispiel können wir Folgendes verzeichnen (um nur einige der bemerkenswertesten Errungenschaften zu erwähnen):

Entdeckungen von grundlegenden physikalischen Phänomenen:

Elektromagnetische Strahlung, Heinrich Hertz, 1885

Röntgenstrahlung, Wilhelm Röntgen, 1895

Radioaktivität, Henri Becquerel, 1896

Elektronen, Joseph John Thomson, 1897

Bahnbrechende wissenschaftliche Theorien:

Elektromagnetische Wellen, James Clerk Maxwell, 1873

Quantentheorie, Max Planck, 1900

Relativitätstheorie, Albert Einstein, 1906

Raum-Zeit-Kontinuum, Hermann Minkowski, 1908

Einige der wichtigsten neuen Technologien:

Benzinmotor, Karl Benz, 1885

Dieselmotor, Rudolf Diesel, 1892

Flugzeuge, Gebrüder Wright, 1903

Tabelliermaschinen (Computer), Hermann Hollerith, 1890

Telefon, Alexander Graham Bell, 1876

Elektrisches Licht, Thomas Alva Edison, 1880

Tonaufzeichnung, Thomas Alva Edison, 1878

Fernsehen, Paul Gottlieb Nipkow, 1884

Radio, Guglielmo Marconi, 1896

Kino, Auguste und Louis Lumière, 1895

Wechselstrommotoren, usw., Nikola Tesla, 1883

Kathodenstrahlröhre, Ferdinand Braun, 1897

Elekronenröhre, John Ambrose Fleming, 1904

usw., usw.,

Radiologie mittels Röntgenstrahlung, Wilhelm Röntgen, 1895

Psychiatrie, Sigmund Freud, 1895

Betrachten wir nun unsere heutige Zeit. Halbleitertechnik, Integrierte Schaltkreise und der elektronische Binärcomputer waren bis 1973 gut entwickelt. Das Internet (das damals immer noch ARPANET genannt wurde) existierte bereits. Die digitale Tonaufzeichnung war schon erfunden, ebenfalls die Lasertechnik. Atomenergie war Alltäglichkeit. Die Amerikaner waren auf dem Mond gewesen. Satellitensysteme waren im Gebrauch. Die Struktur der DNA war bekannt. Also, welches sind die grundsätzlich neuen Entwicklungen seit 1973?

Eigentlich hat sich wenig verändert. Zwar gab es zahlreiche Geräte und Systeme, die von der Presse als „bahnbrechend“, „Spitzentechnik“, „sensationeller Durchbruch“ usw., usw., bezeichnet wurden. Doch wenn wir sie genauer untersuchen, erweisen sie sich als Weiterentwicklungen bestehende Techniken. Manchmal bedeuten sie wichtige Verbesserungen – bedeutende Schritte in der Beherrschung einer spezifischen Technik. Aber die Liste völlig neuer Entdeckungen ist im Vergleich mit jener vor hundert Jahren wirklich armselig.

Entdeckungen von grundlegenden physikalischen Phänomenen:

Keine

Bahnbrechende wissenschaftliche Theorien:

Keine

Wichtige neue Technologien:

Magnetresonanz-Scannen, P. Lauterbur, 1973

Tunnelelektronenmikroskop, Binning und Rohrer, 1981

Nanotechnologie (wenn das überhaupt eine neue Technik ist)

Klonen von Säugetieren, Rosslyn Institut, 1996

Man könnte einwenden, der Mikroprozessor sei unserer Liste noch hinzuzufügen, doch er enthält keine wirklich neue Technologie. Eigentlich ist er ein integrierter Schaltkreis mit erhöhter Dichte, der es ermöglicht, die Komponenten einer größeren Anzahl von Schaltkreisen auf einem einzigen Chip (winzig kleines Plättchen aus Silizium) zu vereinigen. Man könnte auch meinen, die neuesten spekulativen Theorien in der Astrophysik (Superstringtheorie, dunkle Materie, usw.) sollten erwähnt werden oder die Experimente mit den neuesten gigantischen Teilchenbeschleunigern, welche die Existenz von Z-Bosonen, Higgs-Bosonen und ähnlichen Exoten „beweisen“ sollen. Aber Superstringtheorien sind unbewiesen und nicht allgemein akzeptiert. Die Existenz von dunkler Materie ist ebenfalls hypothetisch. Was die Teilchenbeschleuniger anbelangt: deren Entwicklung lässt sich bis in die erste Hälfte des 20. Jahrhunderts zurückverfolgen und sowohl Z- als auch Higgs-Teilchen wurden deutlich vor dem Jahre 1973 postuliert.

Weshalb ist die Ausbeute so mager?

Die offensichtliche Antwort ist, dass wir zunehmend unser Denken den Computern überlassen. Oft wird heute mittels Computersimulation geforscht. Aber Computer können ihrem eigenen Wesen nach nur Dinge, die wir bereits kennen, auf unterschiedliche Weise neu kombinieren. Originelle Vorgehensweise, inspirierte Visionen und erfinderischer Geist sind Eigenschaften von Menschen und nicht Eigenschaften von Maschinenintelligenz. Der Computer hat sicherlich die Weiterentwicklung der bestehenden Naturwissenschaft und Technik beträchtlich beschleunigt. Aber wir bewegen uns in einem ausgefahrenen Geleise. Wahre Kreativität gehört allmählich der Vergangenheit an. (1)

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Kehren wir wieder zum Rechenschieber zurück, der ein Analog-Rechengerät ist im Gegensatz zum Digitalrechner. Beim Rechnen mit dem Rechenstab erhalten wir ein Ergebnis auf 3 bis manchmal auch 4 Stellen genau. Diese Genauigkeit reicht im Handwerksbereich vollkommen aus.

DAS ist eine analoge Rechenhilfe: der FC 2/83N… in der edlen Holzbox aus Zedern und Palisander
Der wissenschaftliche Rechenschieber für Ingenieure: der FABER CASTELL Novo Duplex 2/83N . . . dieses Präzisionsgerät wird allgemein als der Höhepunkt der Rechenstab-Entwicklung angesehen.

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Die Größenordnung der Zahl (der Nullen hinter der Zahl bzw. der Kommastellen) muß immer noch selbst im Kopf errechnet werden.

Die mathematischen Grundlagen für die die Aufteilung der Skalen am Rechenschieber sind – wie in der Historie beschrieben – die Logarithmen. Das Thema der Logarithmen an sich und deren Anwendung beim Weber-Fechner’schen Gesetz, bei Naturtonkurven und den mathematischen Grundlagen der Harmonik (6) auch nur in kürzester Form zu behandeln, würde den Rahmen dieses Beitrages bei Weitem überschreiten.

Wer sich dafür interessiert, dem darf ich das schöne Buch von Ernst Bindel anempfehlen: „Logarithmen für jedermann“ (2).

Den Umgang mit dem Rechenschieber kann man sich erarbeiten mit folgenden Anleitungen: (Quellenangaben unten: 3, 4, 5).

Rechenschieber zum Berechnen der Saiten: Skalen für Material, Länge, Zugkraft, Durchmesser und Tonhöhe (hergestellt von der Fa. Kürschner)
Impressionen aus der Werkstätte: Entwurfsarbeiten mit dem Rechenschieber ARISTO STUDIO
Impressionen aus der Werkstätte: Berechnung der Mechanikwinkel und Feder-Zugkräfte mit dem NESTLER Nr. 23R

Quellen:

(1) Paul Emberson: „Von Gondishapur nach Silicon Valley – Band 1“, Etheric Dimensions Press, 2012

Unbedingt zu empfehlen sind auch die Bände 2 (erschienen 2017) und 3 (erschienen 2020).

(2) Ernst Bindel: “ Logarithmen für jedermann“, Verlag Freies Geistesleben, 1983

(3) H. W. Fricke: „Der Rechenschieber“, Fachbuchverlag GmbH, Leipzig 1953

(4) Albert Nestler AG: „Der logarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch“, Lahr (Baden) 1942

(5) Dr. E. Hammer: „Der logarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch“, Lahr (Baden) 1898

(6) Hans Kayser: „Lehrbuch der Harmonik“, Occident Verlag, Zürich 1950

Wer sich grundlegend informieren möchte, wie künstliche Intelligenz und menschlicher Geist zueinander stehen, der lese sorgfältig das Buch von Douglas R. Hofstadter: „Gödel, Escher, Bach – ein endlos geflochtenes Band“, Klett-Cotta, 1985

Wie das menschliche Denken im 21. Jahrhundert ausgebildet werden sollte, findet alle nötigen Anregungen in: Gennadij A. Bondarew: “ ‚Die Philosophie der Freiheit‘ von Rudolf Steiner als Grundlage der Logik des anschauenden Denkens“, Freie Philosophische Assoziation, Basel 2005

Allgemeine Literatur, beinhaltend auch Mathematik im Instrumentenbau:

Arnold Riesthuis: „The historical harp – Proceedings of the International Historical Harp Symposium Berlin 1994“

Michaelstein – Institut für Aufführungspraxis: „Zur Baugeschichte der Harfe – vom Mittelalter bis zum 19. Jahrhundert“, Michaelsteiner Konferenzberichte Nr.47, 1995

Heidrun Rosenzweig: „Historische Harfen“, Schola Cantorum Basiliensis, 1991

Maria Renold: „Von Intervallen, Tonleitern und Tönen“, Philosophisch-Anthroposophischer Verlag am Goetheanum, Dornach 1992

Wilhelm Stauder: „Einführung in die Akustik“, Florian Noetzel Verlag, 1976

Reine Mathematik (auch zum Selbststudium geeignet):

Dr. Louis Locher-Ernst: „Arithmetik und Algebra“, Philosophisch-Anthroposophischer Verlag am Goetheanum, Dornach 1984

Dr. Louis Locher-Ernst: „Differential- und Integralrechnung im Hinblick auf ihre Anwendung“, Verlag Birkhäuser, Basel 1948

Helmuth Gericke: „Mathematik in Antike, Orient und Abendland“, MatrixVerlag 2014

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Siehe auch: Teil 2

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